4.2 谢克技术选择标准下的调节技术的性质
首先，假设简单再生产，我们可以证明调节技术的存在性：
定理4.2.1（（零增长率下的）调节技术的存在性定理）： 给定 n 种商品的 x 种生产过程 (\mathbf{a}^i,\mathbf{b}^i,\mathbf{l}^i) (i=1,2,\dots,x) ，将 \mathbf{A},\ \mathbf{B},\ \mathbf{l} 分别记作由这 x 种过程织成的实物投入矩阵、实物产出矩阵以及直接劳动投入向量。假设每种产品至少有一种过程生产，假设每个过程都至少用到一个投入，且假设 \mathbf{l > 0} 。令向量 \mathbf{d} 为给定的半正净产品向量，令 \mathbf{q} 为非负的活动水平向量，令 \mathbf{p} 为非负的劳动支配价格。假设增长率为零，则当 0 \leq \pi < \Pi_{II} 时，存在满足谢克技术选择标准的技术体系 \mathbf{(A^*,\ B^*,\ l^*)} ，其中 \Pi_{II} 是这 x 种生产过程能达到的最大利润率水平。
证明：我们用等式（4.3a）减去（4.4）有：
\mathbf{q[B^{(\bigodot)}-(A^{(\bigodot)}+D)]p}- \mathbf{q}[\mathbf{B}^{(\bigodot)}-(\mathbf{I}+\bm{\Theta})(\mathbf{A}^{(\bigodot)}+\mathbf{D})]\mathbf{p} = \mathbf{d}\mathbf{p}-\mathbf{ql} \qquad (4.5)
\mathbf{q}\bm{\Theta}(\mathbf{A}^{(\bigodot)}+\mathbf{D})\mathbf{p} = \mathbf{dp-pl} \qquad (4.6)
因此，如果（4.3）-（4.4a）成立，那么等式（4.6）就成立。反过来，如果等式（4.3）、（4.4）和（4.6）成立，那么（4.3a）和（4.4a）也必然成立。因为如果（4.3）和/或（4.4）不成立，（4.6）就会不成立，就推导不出来（4.3a）和（4.4a）。因此（4.3）-（4.4a）与由等式（4.3）、（4.4）和（4.6）构成的体系等价。下面，我们将由等式（4.3）、（4.4）和（4.6）构成的体系称为体系S：
\mathbf{q}(\mathbf{B-A})=\mathbf{q[B^{(\bigodot)}-(A^{(\bigodot)}+D)]} \geqq \mathbf{d} \qquad (4.3)
[\mathbf{B}^{(\bigodot)}-(\mathbf{A}^{(\bigodot)}+\mathbf{D}+\pi\mathbf{K})]\mathbf{p}=[\mathbf{B}^{(\bigodot)}-(\mathbf{I}+\bm{\Theta})(\mathbf{A}^{(\bigodot)}+\mathbf{D})]\mathbf{p} \leqq \mathbf{l} \qquad (4.4)
\mathbf{q}\bm{\Theta}(\mathbf{A}^{(\bigodot)}+\mathbf{D})\mathbf{p} = \mathbf{dp-pl} \qquad (4.6)
根据线性规划的均衡定理，求满足体系S的要求的解等价于求解以下两个对偶的线性规划问题（其中 \mathbf{q}^{*} 是任意一个非负向量）：
（原问题）
Min_{\mathbf{q}}\ \mathbf{q}\mathbf{l} \qquad \\
s.t. \ \mathbf{q[B^{(\bigodot)}-(\mathbf{I}+\bm{\Theta})(A^{(\bigodot)}+D)]} \geqq \mathbf{d} - \mathbf{q}^{*}\bm{\Theta}\mathbf{(A^{(\bigodot)}+D)} \\
\mathbf{q} \geqq \mathbf{0} \\ (4.7a)
（对偶问题）
Max_{\mathbf{p}}\ [\mathbf{d} - \mathbf{q}^{*}\bm{\Theta}\mathbf{(A^{(\bigodot)}+D)}] \mathbf{p} \qquad \\
s.t. \ [\mathbf{B}^{(\bigodot)}-(\mathbf{I}+\bm{\Theta})(\mathbf{A}^{(\bigodot)}+\mathbf{D})]\mathbf{p} \leqq \mathbf{l}\\ \mathbf{p} \geqq \mathbf{0} \\ (4.7b)
假设我们可以选择一个向量 \mathbf{q}^{*} 使得它在原问题中恰好是一个最优解 \mathbf{q}' ： \mathbf{q}' = \mathbf{q}^* ，那么原问题和对偶问题的最优解 （ \mathbf{q}'(= \mathbf{q}^* ),\ \mathbf{p}' ）就能满足体系S的所有要求。因为在这种情况下，原问题的第一个约束（注意此时约束里的 \mathbf{q=q}^* ）可以改写成如下形式：
\mathbf{q^*[B^{(\bigodot)}-(\mathbf{I}+\bm{\Theta})(A^{(\bigodot)}+D)]} \geqq \mathbf{d} - \mathbf{q}^{*}\bm{\Theta}\mathbf{(A^{(\bigodot)}+D)} \qquad (4.8)
\mathbf{q^*[B^{(\bigodot)}-(\mathbf{I}+\bm{\Theta})(A^{(\bigodot)}+D)]} + \mathbf{q}^{*}\bm{\Theta}\mathbf{(A^{(\bigodot)}+D)}\geqq \mathbf{d} \qquad (4.9)
\mathbf{q}^*(\mathbf{B-A})=\mathbf{q^*[B^{(\bigodot)}-(A^{(\bigodot)}+D)]} \geqq \mathbf{d} \qquad (4.10)
最终得到的（4.10）正好符合（4.3）的要求。
另外，最优解 \mathbf{p}' 因为是对偶问题的最优解，所以肯定满足对偶问题的第一个约束（即满足（4.4））的要求。最后，根据线性规划的基本定理， \mathbf{q}' \mathbf{l} = [\mathbf{d} - \mathbf{q}' (\mathbf{I}+\bm{\Theta})(\mathbf{A}^{(\bigodot)}+\mathbf{D})] \mathbf{p}' （其中 \mathbf{q}' = \mathbf{q}^* ），所以易知等式（4.6）也被满足。所以，我们现在的任务是证明确实存在这种可以充当最优解的 \mathbf{q}^* 。换句话说，如果我们将将任意一个非负向量 \mathbf{q}^* 映射到一个最优解 \mathbf{q}' 的集合 f(\mathbf{q}^*) 的对应称之为对应 f ， 那么我们要证明的是这个对应 f 确实存在一个不动点。
现在先假设 \mathbf{q}^* = \mathbf{0} ，这意味着原问题的任何可行解必须满足如下条件：
\mathbf{q[B^{(\bigodot)}-(\mathbf{I}+\bm{\Theta})(A^{(\bigodot)}+D)]} \geqq \mathbf{d} \qquad (4.11)
或者说，必须满足以下这个条件：
\mathbf{q(B-A-\pi \mathbf{K}}) \geqq \mathbf{d} \qquad (4.12)
可见，即使增长率等于零，是否有可行技术满足条件（4.12）也取决于利润率 \pi 是否有多大。 如果利润率过大，那么没有任何技术体系可以满足（4.12），因为这个时候没有技术体系可以产生一个严格为正的利润扣除净产品向量 \mathbf{y=q(B-A}-\Pi \mathbf{K} )> \mathbf{0} 。我们将刚好有技术体系可以且只能产生一个非负的利润扣除净产品向量的利润率水平称为增长率为零时的最大利润率 \Pi 。
这个最大利润率是有意义的，考虑一下我们的价格体系（3.1）。实际上，如果利润率超过了最大利润率，那么价格体系（3.1）就变成了：
(\mathbf{B-A} - \pi \mathbf{K} ) \mathbf{p} = w\mathbf{l} \qquad (4.13)
[\mathbf{q}(\mathbf{B-A} - \pi \mathbf{K} )] \mathbf{p} = w\mathbf{ql} \qquad (4.14)
此时我们有 \mathbf{q}(\mathbf{B-A} - \pi \mathbf{K} ) < \mathbf{0} 。等式（4.14）的右侧为工人阶级作为一个整体获得的工资总额。如果 \mathbf{q}(\mathbf{B-A} - \pi \mathbf{K} ) < \mathbf{0} ，要么令所有价格为零从而使得工资总额为零（这没有经济意义，因为价格不能全部为零），要么允许一些价格为正，从而工人获得负数工资总额（或者说工人需要向资本家支付工资），但这显然也不符合现实。
接下来的问题是，根据（4.12）得出的最大利润率概念是否是前文中所说的当工资率为零时所对应的最大利润率概念。为了区分二者，我将前文的最大利润率概念称之为最大利润率 I（ \Pi_{I} ），将这个章节得到的最大利润率概念称为最大利润率 II（ \Pi_{II} ）。
首先最大利润率 II 不能小于最大利润率 I，否则最大利润率 I 将如上段所说因为高于最大利润率 II 而失去经济意义（很明显，最大利润率 I 是有意义的，那就是工人阶级没有获得任何剩余）。其次，最大利润率 I 不能小于最大利润率 II，因为最大利润率 I 要大到令工资率为零，如果最大利润率 I 比最大利润率 II 更小，那么这就说明最大利润率 II 已经大到令工资率为负数，或者必须让所有价格为零时工资率才能为零。这也就意味着最大利润率 II 已经令 \mathbf{q}(\mathbf{B-A} - \pi \mathbf{K} ) < \mathbf{0} ，从而使最大利润率 II 失去经济意义。但是很明显最大利润率 II 也有经济意义：它是保证价格体系有意义的条件（之一）。所以，对于这个刚好有一个非负利润扣除净产品向量的技术体系来说，二者其实是一回事。
条件（4.12）至少要在利润率为零时成立，否则没有任何技术可以产出相应的净产品需求，我们也就观察不到任何生产体系，那我们的分析就没有意义了。另外，只要资本家阶级索取的利润率水平 0 \leq \pi < \Pi_{II} （这个假定十分宽松），那么给定的生产过程至少能生成一种技术体系以满足（4.12）。这是因为存在一个 \mathbf{q} 和相应的技术体系可以使 \mathbf{y=q(B-A}-\Pi \mathbf{K} )> \mathbf{0} ，那么只要将这个 \mathbf{q} 放大许多倍，就一定能让该技术体系产出的净产品超出净产品需求。
因此，原问题有一个可行解，而且零数价格向量是对偶问题的可行解，所以根据线性规划基本定理原问题有最优解。我们将原问题的这个可行解记为 \mathbf{q}^+ 。
现在考虑 \mathbf{q}^* \ge \mathbf{0} 的情况。在这种情况下 \mathbf{q}^+ 也是原问题的可行解，因为此时我们有：
\mathbf{q^+(B-A-\pi \mathbf{K}}) \geqq \mathbf{d} \geqq \mathbf{d} - \pi \mathbf{q^*K} \qquad (4.15)
换句话说，原问题的第一个约束条件必然被满足。
因此， \mathbf{q}^+ 总是原问题的一个可行解；而且由于零数价格向量也总是对偶问题的可行解，所以根据线性规划基本定理，每个 \mathbf{q}^* 对应的最优解 \mathbf{q}' 的集合， f(\mathbf{q}^*) ，一定非空。
现在，我们定义一个集合 Q = \{ \mathbf{q \geqq 0}: \mathbf{ql \leq q^+l} \} 。因为存在 \mathbf{q}^+ ，所以集合 Q 非空。假设 \mathbf{l > 0} ，则集合 Q 为非空的凸紧集。每个 \mathbf{q}^* 对应的最优解 \mathbf{q}' 的集合 f(\mathbf{q}^*) 一定包含于集合 Q 中，因为如果 \mathbf{q}' \in f(\mathbf{q}^*) ，那么作为一个最优解它必须满足原问题的第二个约束，即它必须满足 \mathbf{q}' \geqq \mathbf{0} ；而且， \mathbf{q}' 做为一个最优解必然最小化了原问题的目标函数，即必然最小化了 \mathbf{ql} 的值，因此我们必然有 \mathbf{q'l \leq q^+l} 。
既然最优解（的集合 f(\mathbf{q}^*) ）包含于集合 Q 中，我们不妨只考虑包含于集合 Q 中的 \mathbf{q}^* 。我们现在的目标是证明包含于集合 Q 中的 \mathbf{q}^* 的集合中有一个 \mathbf{q}^*
= \mathbf{q}'。换句话说，对应 f 存在一个不动点使得 \mathbf{q}^* \in f(\mathbf{q}^*)。
为此，我们需要运用角谷不动点定理。该定理指出：只要我们的对应 f 是一个上半连续对应而且集合 f(\mathbf{q}^*) 是凸集，那么不动点就确实存在。首先，根据线性规划基本定理，最优解 \mathbf{q}' 的集合 f(\mathbf{q}^*) 必然是凸集。其次，我们的连续实值函数 \mathbf{ql} 在凸集 Q 上被最小化，而且这个凸集随着 \mathbf{q}^* 的变化而连续变化（在这里实际上是不变，但是不变可以看作是一种特殊的连续变化）；那么，根据极大值定理，对应 f 必然上半连续。因此，我们确实能找到一个不动点 \mathbf{q}^* 。
这意味着，对于任何大于等于零且小于最大利润率 II 的利润率水平，存在一个满足谢克技术选择标准的技术体系和相应的活动水平。 \blacksquare
